Autour de nouvelles notions pour l'analyse des algorithmes d'approximation : de la structure de NPO à la structure des instances

This paper is the continuation of the paper “Autour de nouvelles notions pour l’analyse des algorithmes d’approximation: Formalisme unifié et classes d’approximation” where a new formalism for polynomial approximation and its basic tools allowing an “absolute” (individual) evaluation the approximability properties of NPhard problems have been presented and discussed. In order to be used for exhibiting a structure for the class NPO (the optimization problems of NP), these tools must be enriched with an “instrument” allowing comparisons between approximability properties of different problems (these comparisons must be independent on any specific approximation result of the problems concerned). This instrument is the approximability-preserving reductions. We show how to integrate them in the formalism presented and propose the definition of a new reduction unifying, under a specific point of view a great number of existing ones. This new reduction allows also to widen the use of the reductions, restricted until now either between versions of a problem, or between problems, in order to enhance structural relations between frameworks. They allow, for example, to study how standard-approximation properties of a problem transform into differential-approximation ones (for the same problem, or for another one). Finally, we apply the several concepts introduced to the study of the structure (and hardness) of the instances of a problem. This point of view seems particurarly fruitful for a better apprehension of the hardness of certain problems and of the mechanisms for the design of efficient solutions for them. Reçu en novembre 2001. 1 ESSEC, Cergy-Pontoise, France ; e-mail : [email protected] 2 LAMSADE, Université Paris-Dauphine, France ; e-mail : [email protected] c © EDP Sciences 2003 312 M. DEMANGE ET V. PASCHOS Résumé. Cet article est la suite de l’article Autour de nouvelles notions pour l’analyse des algorithmes d’approximation : formalisme unifié et classes d’approximation où nous avons présenté et discuté, dans le cadre d’un nouveau formalisme pour l’approximation polynomiale (algorithmique polynomiale à garanties de performances pour des problèmes NP-difficiles), des outils permettant d’évaluer, dans l’absolu, les proporiétés d’approximation de problèmes difficiles. Afin de répondre pleinement à l’objectif de l’approximation polynomiale de mettre en évidence et étudier une structure de la classe NPO (problèmes d’optimisation de NP), ces outils ont besoin d’être complétés pour offrir la possibilité de comparer, indépendamment de tout résultat spécifique, les propriétés d’approximation de problèmes différents. C’est l’objet de la notion de réduction en approximation à laquelle nous nous intéressons ici. Nous montrons comment l’intégrer au nouveau formalisme et présentons une définition qui unifie, sous un point de vue spécifique, les nombreuses notions existantes. Cette définition permet aussi un emploi systématique de réductions pour étudier des liens entre différents problèmes, entre différentes versions d’un problème ou encore entre le cadre de l’approximation classique et celui de l’approximation différentielle. Comme dans l’article Autour de nouvelles notions pour l’analyse des algorithmes d’approximation : formalisme unifié et classes d’approximation , ce travail est illustré par de nombreux exemples et s’adresse tant aux spécialistes du domaine, pour un débat commun, qu’aux non spécialistes qui ont une occasion de se familiariser avec ce domaine. Enfin, nous appliquons les différents concepts à l’étude de la struture (et la difficulté) des instances d’un problème. Cette problématique s’avère très intéressante pour une meilleure compréhension de la difficulté de certains problèmes et pour leur résolution efficace. Mots Clés. Complexité, difficulté intrinsèque, analyse des algorithmes et des problèmes, algorithmes d’approximation. Classification Mathématique. 68Q15, 68Q17, 68Q25, 68W25.